材料力学 应力状态分析

(未完成……敬请期待……)

应力状态 分析法

应力:

p=limΔA0ΔFΔAp= \lim _{ \Delta A \rightarrow 0} \frac{ \Delta F}{ \Delta A}

应力集中:应力在固体局部区域内显著增高的现象

尖角、孔洞、缺口、沟槽、刚性约束附近

应力集中衡量参数:理论应力集中因数

K=σmaxσK= \frac{ \sigma _{ \max }}{ \sigma }

同一截面上按净面积算出的平均应力

尺寸变化越急剧应力集中的程度越严重

力学性能:在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性

正应力:垂直于截面

σ=limΔA0ΔFNΔA=dFNdA\sigma = \lim _{ \Delta A \rightarrow 0} \frac{ \Delta F_{N}}{ \Delta A}= \frac{dF_{N}}{dA}

切应力:位于截面内

τ=limΔA0ΔTΔA=dTdA\tau = \lim _{ \Delta A \rightarrow 0} \frac{ \Delta T}{ \Delta A}= \frac{dT}{dA}

正应力与切应力交融

横截面和其他截面上都存在应力

同一面上不同点的应力各不相同

同一点不同方向面上的应力也各不相同

应力状态:过一点不同方向面上应力的情况(应力全貌)

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单向应力状态拉伸压缩

纯剪应力状态

平面应力状态:三个主应力中有两个不为零

空间应力状态:三个主应力都不等于零

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σα=σx+σy2+σxσy2cos2ατxysin2α\sigma _{ \alpha }= \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2}+ \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \cos 2 \alpha - \tau _{xy} \sin 2 \alpha

τα=σxσy2sin2a+τxycos2a\tau_{ \alpha }= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \sin 2a+ \tau _{xy} \cos 2a

两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

τα=σxσy2sin2a+τxycos2a\tau_{ \alpha }= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \sin 2a+ \tau _{xy} \cos 2a

τa+τα+90=0\tau _{a}+ \tau _{ \alpha +90^{ \circ }}=0

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{σminσmax=σx+σy2±(σxσy2)2+τxy2\{ _{ \sigma _{min}}^{ \sigma _{max}}= \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2} \pm \sqrt{( \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2})^{2}+\tau _{xy}^{2}}

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τa=σxσy2sin2α+τxycos2α\tau _{a}= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \sin 2 \alpha + \tau _{xy} \cos 2 \alpha

{τminτmax=±(σxσy2)2+τxy2\{ _{ \tau _{min}}^{ \tau _{max}}= \pm \sqrt{( \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2})^{2}+ \tau _{xy}^{2}}

应力圆(莫尔圆)

常数项左移:

σασx+σy2=σxσy2cos2ατxysin2α\sigma _{\alpha}- \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2}= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \cos 2 \alpha - \tau _{xy} \sin 2 \alpha

τα=σxσy2sin2α+τxycos2α\tau _{\alpha}= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \sin 2 \alpha + \tau _{xy} \cos 2 \alpha

{σασx+σy2=σxσy2cos2ατxysin2ατα=σxσy2sin2α+τxycos2α\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sigma _{\alpha}- \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2}= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \cos 2 \alpha - \tau _{xy} \sin 2 \alpha\\ \tau _{\alpha}= \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2} \sin 2 \alpha + \tau _{xy} \cos 2 \alpha \end{matrix}\right.

(σασx+σy2)2+τα2=(σxσy2)2+τxy2\Rightarrow( \sigma _{\alpha}- \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2})^{2}+ \tau _{\alpha}^{2}=( \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2})^{2}+ \tau _{xy}^{2}

上式中只有 σα\sigma _{\alpha}τα\tau _{\alpha} 不是已知量。

当斜截面随方位角 α\alpha 变化时,其上的应力 σα\sigma _{\alpha}τα\tau _{\alpha}α\alpha-τ\tau 直角坐标系内的轨迹是一个圆。此圆称为莫尔圆(应力圆)

圆心的坐标:

C(σx+σy2,0)C( \frac{ \sigma _{x}+ \sigma _{y}}{2},0)

圆的半径:

R=(σxσy2)2+τxy2R= \sqrt{( \frac{ \sigma _{x}- \sigma _{y}}{2})^{2}+\tau_{xy}^{2}}

应力圆的画法

应力圆的应用

求单元体上任一截面上的应力

求主应力数值和主平面位置

求最大切应力

空间应力圆

三主应力两两绘圆:
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广义胡克定律

叠加法空间变形:

ε1=(σ1E)+(μσ2E)+(μσ3E)\varepsilon _{1}=( \frac{ \sigma _{1}}{E})+(- \mu \frac{ \sigma _{2}}{E})+(- \mu \frac{ \sigma _{3}}{E})

主应力与主应变

{ε1=1E[σ1μ(σ2+σ3)]ε2=1E[σ2μ(σ3+σ1)]ε3=1E[σ3μ(σ1+σ2)] \left\{\begin{matrix} \varepsilon _{1}= \frac{1}{E} [ \sigma _{1}- \mu ( \sigma _{2}+ \sigma _{3})]\\ \varepsilon _{2}= \frac{1}{E} [ \sigma _{2}- \mu ( \sigma _{3}+ \sigma _{1})]\\ \varepsilon _{3}= \frac{1}{E} [ \sigma _{3}- \mu ( \sigma _{1}+ \sigma _{2})] \end{matrix}\right.

如果各面还有切应力,则在上式基础上加上以下三式:

γxy=τxyG,γyz=τyzG,γzx=τzxG\gamma _{xy}= \frac{ \tau _{xy}}{G} , \gamma _{yz}= \frac{ \tau _{yz}}{G} , \gamma _{zx}= \frac{ \tau _{zx}}{G}

重要前提
材料的变形处于线弹性范围(G,E)

σ3=0\sigma _{3}=0 平面应力状态下的广义胡克定律

体积应变:构件每单位体积的体积变化 θ\theta

主平面 τ=0\tau=0

主应力方位

tan2α0=2τxyσxσy,σxσy,α0minσmax\tan 2 \alpha _{0}=- \frac{2 \tau _{xy}}{ \sigma _{x}- \sigma _{y}} , \sigma _{x} \geqslant \sigma _{y},| \alpha _{0}|_{ \min } \rightarrow \sigma _{ \max }

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